Коммутативлыҡ

«Коммутативлыҡ» терминын 1814 йылда француз математигы Франсуа Жозеф Сервуа^[fr] индергән.

• Ысын һандарҙың суммаһы һәм ҡабатландығы коммутатив:

${\displaystyle a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R} .}$

• Конъюнкция һәм дизъюнкция коммутатив:

${\displaystyle a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a.}$

• Күмәклектәрҙең берекмәһе, киҫелеше һәм симметрик айырмаһы коммутатив:

${\displaystyle A\cup B=B\cup A;\quad A\cap B=B\cap A;\quad A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A.}$

• Ысын һандарҙы дәрәжәгә күтәреү коммутатив түгел (${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$):

${\displaystyle 2^{4}=4^{2}=16}$, ләкин ${\displaystyle 2^{5}=32\neq 5^{2}=25}$.

Күп бинар операциялар ассоциатив, ләкин дөйөм осраҡта коммутатив түгел. Шулай, мәҫәлән, матрицаларҙы ҡабатлау:

${\displaystyle {\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}{\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}={\tbinom {34\ 49}{16\ 72}}}$, ләкин ${\displaystyle {\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}{\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}={\tbinom {82\ \,8\,}{38\ 24}}}$

һәм ысын һандарҙы дәрәжәгә күтәреү:

${\displaystyle 2^{4}=4^{2}=16}$, ләкин ${\displaystyle 2^{5}=32\neq 5^{2}=25}$.

Әммә һәр коммутатив операция ассоциатив түгел (ассоциатив булмаған операциялы коммутатив магмалар бар). Ике аргументтан артыҡ (симметрияның төрлө варианттары) операцияларға коммутативлыҡ төшөнсәһенең бер нисә дөйөмләштереүе бар.

Коммутатив операциялар коммутатив булмаған структураларға хас булмаған күп кенә «яҡшы» үҙсәлектәргә эйә булған алгебраик структураларҙың киң ҡатламын барлыҡҡа килтерә, (мәҫәлән, Абель булмағандар менән сағыштырғанда коммутатив төркөмдәр). Математиканың күп тармаҡтарында, проблемаларҙы күберәк өйрәнелгән һәм уңайлыраҡ үҙсәлектәргә эйә булған коммутатив структураларға ҡайтарып ҡалдырыу техникаһы ҡулланыла. Коммутатив алгебра — коммутатив ҡулсаларҙың һәм уларға бәйле коммутатив объекттарҙың (модулдәр, идеалдар, дивизорҙар, яландар) үҙсәлектәрен өйрәнеүсе дөйөм алгебраик йүнәлеш.